Teoria de códigos : uma abordagem usando métricas que respeitam suporte e outros problemas

Orientador: Marcelo FirerTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Esta tese estuda as métricas definidas por peso e respeitam o suporte dos vetores (TS-métricas) no contexto de teoria de códigos. Sua principal preocupação, considerando famílias específicas de métricas, é explorar e entender alguns resultados "estruturais" das métricas, a saber: descrever o grupo de isometrias lineares e, estabelecer condições para a validade da Identidade MacWilliams (uma relação entre a distribuição de peso de um código e a distribuição de peso - possivelmente de um peso modificado - do código dual) e da propriedade de extensão MacWilliams (quando isometrias lineares entre códigos lineares podem ser estendidas para isometrias lineares em todo o espaço). Esses resultados são os primeiros explorados para a família das métricas combinatoriais de Gabidulin e para uma nova família dessas métricas, as métricas de posets-bloco-rotulados. Além disso, é apresentada uma abordagem sistemática ao espaço de todas as TS-métricas, primeiro rotulando as arestas do cubo de Hamming. Em seguida, introduzimos um operador condicional nas TS-métricas, o que permite mostrar que qualquer TS-métrica pode ser obtida por uma sequência de somas condicionais de poset ou métricas combinatórias. Além deste estudo sistemático de TS-métricas, apresentamos alguns resultados relevantes em relação à representação de dígrafosAbstract: This thesis studies metrics determined by weight that are compatible with support of vectors (TS-metrics) in the context of coding theory. Its main concern, considering specific families of metrics, is to explore and understand some ''structural'' results of the metrics, namely: to describe the group of linear isometries and to establish conditions for the validity of the MacWilliams Identity (a relation between the weight distribution of a code and the weight distribution - possibly of a modified weight - of the dual code) and the MacWilliams extension property (when linear isometries between linear codes can be extended to linear isometries on the whole space).These results are first explored for the family of Gabidulin¿s comibinatorial metrics and for a new family of such metrics, the labeled-poset-block metrics. In addition, it is introduce a systematic approach to the space of all TS-metrics, first by labeling the edges of the Hamming cube. Then, we introduce a conditional operator on TS-metrics, which allows to show that any TS-metrics can be obtained, by a sequence of conditional sums of poset or combinatorial metrics. Besides this systematic study of TS-metrics, we present some relevant results concerning representation of digraphsDoutoradoMatematicaDoutor em Matemática2015/11286-8FAPES

Characterization of metrics induced by hierarchical posets

Orientador: Marcelo FirerDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Neste trabalho, utilizando a decomposição canônica para códigos em espaços munidos de métricas definidas por ordens parciais hierárquicas, são apresentadas fórmulas explícitas para os principais parâmetros de um código linear (distância mínima, raios de empacotamento, de cobertura e de Chebyshev) em termo dos correspondentes na métrica de Hamming. Além disso, é apresentada uma série de propriedades que caracterizam as métricas definidas por ordens parciais hierárquicas, sendo algumas das características originais e, para todas estas propriedades, apresentamos demonstrações originais, simples e curtasAbstract: In this work, considering the canonical decomposition of codes in spaces endowed with a metric determined by hierarchical posets , we give explicit formulae for the main parameters of a linear code (packing, covering and Chebyshev radii and minimal distance), in terms of the corresponding Hamming parameters. Furthermore, we present several different properties that characterize the hierarchical poset metrics, some of the properties being original and, for all those properties, we give original, simple and short proofsMestradoMatematicaMestre em Matemática130029/2014-9CNP